Klausur: Mathematische Methoden der Bildverarbeitung

Bitte beschriften Sie alle Blätter mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer ! Bitte geben Sie Blätter mit Nebenrechungen ebenfalls ab und beschriften Sie diese.

Bei der Klausur können 24 Punkte erzielt werden. Bei mehr als 8 Punkten gilt die Klausur als bestanden, für eine 1,0 benötigen Sie 20 Punkte, die vier zusätzlichen Punkte dienen dazu eventuelle Rechenfehler oder Ungenauigkeiten zu kompensieren.

Die Lösungen sind jeweils grau unterlegt.

1. Aufgabe

a)  Was versteht man unter einem Fundamentalsystem einer Differentialgleichung ? (1 Punkt)

Ein Fundamentalsystem sind alle linear unabhängigen Lösungen y_i(x) einer Differentialgleichung n-ter Ordnung, die Funktionen sind linear unabhängig wenn die Wronski-Determinate nicht verschwindet

W(y_1(x), .., y_n(x)) = | | ≠0 ... y y 1 2 ⋯

b) Man löse die gewöhnlichen  Differentialgleichungen (5 Punkte):

y^′(x) + λ y(x) = 0

In[3]:=

TraditionalForm[y[x]/.DSolve[y '[x] + λ y[x] 0, y[x], x][[1]]]

Out[3]//TraditionalForm=

^(-x λ) c_1

y^′(x) + x/σ^2 y(x) = 0

In[4]:=

TraditionalForm[y[x] /. DSolve[y '[x] + x y[x]/σ^20, y[x], x][[1]]]

Out[4]//TraditionalForm=

^(-x^2/(2 σ^2)) c_1

y^′′(x) + ω^2y(x) = 0

In[5]:=

TraditionalForm[y[x] /. DSolve[y''[x] + ω^2 y[x] 0, y[x], x][[1]]]

Out[5]//TraditionalForm=

c_1 cos(x ω) + c_2 sin(x ω)

y^′(x) + y(x) = x

In[6]:=

TraditionalForm[y[x] /. DSolve[y '[x] + y[x] x, y[x], x][[1]]]

Out[6]//TraditionalForm=

x + ^(-x) c_1 - 1

y^(3)(x) + y(x) = 0

In[7]:=

TraditionalForm[y[x] /. DSolve[y'''[x] + y[x] 0, y[x], x][[1]]]

Out[7]//TraditionalForm=

^(-x) c_1 + ^(x/2) c_3 cos((3^(1/2) x)/2) + ^(x/2) c_2 sin((3^(1/2) x)/2)

2. Aufgabe

a) Man forme die Differentialgleichung 2. Ordnung:

x^2y'' (x) + x y ' (x) + (x^2 - 1) y(x) = 0

in ein System von Gleichungen 1. Ordnung um.  Welche Probleme ergeben sich, wenn die Lösung numerisch für die Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y ' (0) = 1/2 berechnet werden soll ? Man mache Vorschläge die Probleme zu umgehen. (2 Punkte)

Das System erhält man mit y(x) = u(x), y ' (x) = v(x)

u ' (x) = v(x) v ' (x) = - (x  v(x) + (x^2 - 1) u(x))/x^2

Die Anfangsbedingungen lauten dann u(0) = 0 und v(0) = 1/2.

Die Anfangsbedingungen sind für den singulären Punkt der Gleichung bei x = 0  gegeben, eine numerische Lösung läuft Gefahr, mit einer Division durch 0 zu enden

Entweder man verwendet statt x^2 im Nenner (x^2 + ϵ) mit ϵ<< 1 oder man macht einen Reihenansatz

y(x) = x^λUnderoverscript[∑, k = 0, arg3] a_kx^k

um von der singulären Stelle zu entkommen.

b) Zum numerischen Lösen  des Gleichungssystems

u ' (x) = 998 u(x) + 1998 v(x) v ' (x) = -999 u(x) - 1999 v(x)

mit den Anfangsbedingungen u(0) = 1und v(0) = 0  stehen ein verbessertes Euler-Verfahren

y^* = y_n + h f(x, y_n) y_ (n + 1) = y_n + h/2 (f(x + h, y^*) + f(x, y_n))

und eine Trapez-Regel

y_ (n + 1) = y_n + h /2 (f(x + h, y_ (n + 1)) + f(x, y_n))

zu Auswahl. Welches Verfahren verwenden Sie ? Begründen Sie ihre Entscheidung. (3 Punkte)

Das System von Gleichungen ist steif und muß mit dem impliziten Verfahren (also der Trapez-Regel) gelöst werden. Ein explizites Verfahren benötigt für die Stabilität der Integration einen um den Faktor 1000 kleinere Schrittweite.

Hinweise

Die Gleichung

x^2y'' (x) + x y ' (x) + (x^2 - n^2) y(x) = 0

ist eine Besselsche Differentialgleichung n-ter Ordnung und muß nicht numerisch gelöst werden.

Die Matrix

( 998 1998 ) -999 -1999

hat die Eigenwerte FormBox[Cell[TextData[Cell[BoxData[λ = -1]]]], TraditionalForm] 1 und λ_2 = -1000

3. Aufgabe

Man löse das Randwertproblem

y'' (x) = x

für x∈[-π, π] mit den periodischen Randbedingungen, y(-π) = y(π).  (8 Punkte)

Als erstes wird das Eigenwertproblem

y'' (x) = -λ y(x) y(-π) = y(π)

gelöst. Die Differentialgleichung

y'' (x) + λ y(x) = 0

hat die Lösungen:

λ = 0     y(x) = c_1 + c_2 x

λ≠0     y(x) = c_1 sin(λ^(1/2) x) + c_2 cos(λ^(1/2) x)

für λ = 0 erfüllt nur die Funktion y_0(x) = c die Randbedingungen, für λ≠0 sind sowohl y_k(x) = c cos(k x) und Overscript[y, ~] _k(x) = c sin(k x) Eigenfunktionen wenn k eine ganze Zahl ist. Man erhält also die Eigenwerte:

λ_k = 0, 1, 4, …, k^2, …

und die Eigenfunktionen

y_0(x) = 1/(2π)^(1/2)

y_k(x) = 1/π^(1/2) cos(k x)

Overscript[y, ~] _k(x) = 1/π^(1/2) sin(k x)

Zum Lösen des Randwertproblems muß die rechte Seite f(x) = x in eine Fourier-Reihe nach diesen Funktionen entwickelt werden. Für f(x) erhält man

f(x) = x = Underoverscript[2∑, k = 1, arg3] (-1)^(k + 1) 1 /ksin(k x)

Die Koeffizienten zu den Eigenfunktionen cos(k x)/π^(1/2)  verschwinden, weil  das Integral

1/π^(1/2) ∫_ (-π)^πx  cos(k x) x = 0

verschwindet (ungerade Funktion über ein symmetrisches Intervall). Mit dem Reihenansatz

y(x) = Underoverscript[∑, k = 1, arg3] a_k sin(k x)

erhält man

y(''x) = Underoverscript[∑, k = 1, arg3] a_k (-k^2) sin(k x) = f(x) = Underoverscript[2∑, k = 1, arg3] (-1)^(k + 1) 1 /ksin(k x)

oder

a_k = 2   (-1)^k1 /k^3

y(x) = Underoverscript[∑, k = 1, arg3]    2   (-1)^k1 /k^3 sin(k x)

Als Bemerkung zu der Aufgabe sei  angemerkt, das die Reihe sehr gut konvergiert:

In[74]:=

serSol[x_, n_Integer] := Sum[ 2 (-1)^k 1/k^3 Sin[k x], {k, 1, n}]

In[81]:=

Plot[Evaluate[Table[serSol[x, n], {n, 1, 19, 6}]], {x, -Pi, Pi}, FrameTrue, FrameLabel ... PlotStyle {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 0, 0]}] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_70.gif]

und sich sie Fourier-Reihe in geschlossener Form darstellen läßt:

In[63]:=

res = Sum[ 2 (-1)^k 1/k^3 Sin[k x], {k, 1, ∞}]//FullSimplify[#, x∈Reals] &

Out[63]=

-1/6  Log[^(- x)] (π^2 + Log[^(- x)]^2)

In[66]:=

res = res /. Log[E^a_]  a//FullSimplify

Out[66]=

1/6 x (-π^2 + x^2)

In[73]:=

Plot[Evaluate[res], {x, -Pi, Pi}, FrameTrue, FrameLabel {x, y[x]}, FormatType& ... itionalForm, FrameTicks {Table[ξ, {ξ, -Pi, Pi, Pi/4}], Automatic, None, None}] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_76.gif]

Hinweise

∫_ (-π)^π sin(k x)^2 xπ

∫_ (-π)^πcos(k x)^2 xπ

∫_ (-π)^πsin(k x)^ x x (-1)^(k + 1) (2 π)/k

4. Aufgabe

a) Die eindimensionale Diffusionsgleichung

∂ u/∂ t (x, t) = D∂^2 u/∂ x^2 (x, t)

mit x∈[0, 1] und t∈[0, T] und der Anfangsbedingung u(x, 0) = g(x) und den Randbedingungen u(0, t) = u(1, t). Soll numerisch gelöst werden. Man stelle die endlichen Differenzengleichungen dafür auf das die Zeitabhängigkeit mit einem expliziten Euler-Verfahren und einer Mittelpunktsregel integriert wird (4 Punkte).

Sowohl u(x) als auch g(x) werden diskretisiert mit u_n = u(n δ) und g_n = g(n δ) mit dem Abstand δ = 1/N , für die räumliche Ableitung erhält man

 u_n/ t (t) = D/δ^2 (u_ (n - 1)(t) - 2 u_n(t) + u_ (n + 1)(t)) u_0 = u_N u_n(0) = g_n

Wir auch noch die Zeit mit u_ (n, k) = u_n(k h) diskretisiert so ehält man mit einem expliziten Euler-Verfahren:

u_ (n, k + 1) = u_ (n, k) + (D h)/δ^2 (u_ (n - 1, k) - 2 u_ (n, k) + u_ (n + 1, k)) u_ (0, k + 1) = u_ (N, k + 1) u_ (n, 0) = g_n

und mit einer Mittelpunktsregel:

u_ (n, k + 1) - (D h)/(2δ^2) (u_ (n - 1, k + 1) - 2 u_ (n, k + 1) + u_ (n + 1, k + 1)) = ... 8;^2) (u_ (n - 1, k) - 2 u_ (n, k) + u_ (n + 1, k)) u_ (0, k + 1) = u_ (N, k + 1) u_ (n, 0) = g_n

oder als lineares Gleichungssystem für die u_ (n, k + 1)

- (D h)/(2δ^2) u_ (n - 1, k + 1) + (1 + (D h)/δ^2) u_ (n, k + 1) - (D h)/(2δ^2) ... 8;^2) (u_ (n - 1, k) - 2 u_ (n, k) + u_ (n + 1, k)) u_ (0, k + 1) = u_ (N, k + 1) u_ (n, 0) = g_n

b) Wie kann die Genauigkeit der Ergebnisse verbessert werden ? (1 Punkt)

Man kann eine bessere Näherung für die Ableitungen bezüglich x verwenden und man kann ein genaueres Verfahren zur Integration der zeitabhängingen Gleichungen verwenden.

Created by Mathematica  (February 17, 2004)