Anfangswertprobleme

  • Man bestimme die Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichungen

    • y^2(x) = -» y(x)

    y^2(x) = x y(x)^2

    y'' (x) - ³ y(x) + É^2y(x) = 0

  • Wann sind die n-Lösungen einer Differnetialgleichung n-ter Ordung linear unabhänging?
  • Man zeige, das für die Gleichung

    • x^2y'' (x) + x y ' (x) + y(x) = 0

    die beiden Lösungen

    y_1(x) = cos(ln(x))

    y_2(x) = sin(ln(x))

    ein Fundamentalsystem bilden.

  • Was versteht man unter der Methode der Variation der Konstanten.
  • Was versteht man unter der Stabilität eines numerischen Verfahrens für Anfangswertprobleme ?
  • Man untersuche die Stabilität des numerischen Verfahrens

    • y^* = y^(n) + h y^(n)

    y^(n + 1) = y^(n) + h/2 (y^(n) + y^*)

    an Hand der Testgleichung y ' (x) = -» y(x) und bestimme der Stabilitätsbereich.
    Handelt es sich um ein explizites oder implizites Verfahren.

    Randwertprobleme

  • Was ist ein Hilbert-Raum und eine orthonormal Basis ?
  • Man bestimme die Eigenwerte »_n und Eigenfunktionen y_n(x)

    • y'' (x) + » y(x) = 0

    x[0, 1]

    y(0) = 0

    y(1) = 0

    und normiere die Eigenfunktionen.

    Hinweis:

    +_0^1 sin^2(± x) Lx = 1/2 - sin(2±)/(4 ±)

    +_0^1 cos^2(± x) Lx = 1/2 - (sin(±) cos(±))/(4 ±)

  • Man bestimme die Eigenwerte »_n und Eigenfunktionen y_n(x)

    • x^2y'' (x) + x y ' (x) + » y(x) = 0

    x[1, M]

    y ' (1) = 0

    y ' (M) = 0

    und normiere die Eigenfunktionen.

    Hinweis:

    Man wähle das Skalar-Produkt:

    )u2v* = +_1^M ( u(x) v(x))/xLx

    +_0^1 sin^2(± x) Lx = 1/2 - sin(2±)/(4 ±)

    +_0^1 cos^2(± x) Lx = 1/2 - (sin(±) cos(±))/(4 ±)

  • Gegeben sei der Hilbert-Raum L^2[0, À] mit der Basis u_n(x) = 2/À^(1/2) sin ( k x), k = 1, 2, & Man stelle eine beliebige Funktion f(x) die auf dem Intervall [0, À] definiert ist in dieser Basis dar. Welche Eigenschaften muß f(x) haben ?
  • Für das Einheitsquadrat x, y[0, 1] ×[0, 1] löse man das Eigenwertproblem

    • ^2u/ x^2 (x, y) + ^2u/ y^2 (x, y) + » u(x, y) = 0

    mit den Randbedingungen

    u/ x (x, y) | _ (x = 0) = 0

    u/ x (x, y) | _ (x = 1) = 0

    u/ y (x, y) | _ (y = 0) = 0

    u/ y (x, y) | _ (y = 1) = 0

    Dynamische Systeme

  • Was versteht man unter den Fixpunkten eines dynamischen Systems
  • Wozu dient ein Poincaré-Schnitt.
  • Welches Verhalten zeigt die Lösung der Differentialgleichung

    • y'' (x) - ³ y(x) + É^2y(x) = 0

    für x" für ³ = 0 und ³>0. Man skizziere das Verhalten im Phasenraum y - y ' und in den Abhängigkeiten y(x) und y ' (x).

  • Wie verhält sich das System

    • x ' (t) = y(t) y ' (t) = -x(t) z ' (t) = -y(t) - z(t)

    für x→∞.  Man skizziere den Verlauf der Lösung im Phasenraum.

    Hinweis:

    Die Matrix:

    (¢ 0 1 0 ¢) -1 0 0 0 -1 -1

    hat die Eigenwerte »_1 = -1, »_2 = N und »_3 = -N.